Основные научные результаты академика А.А.Самарского в области вычислительной математики.

Существенным вкладом в развитие итерационных методов является разработка А.А. Самарским универсального попеременно-треугольного метода, построение и обоснование итерационного метода переменных направлений для решения разностных аналогов краевых задач повышенного порядка точности для уравнения Пуассона, решение проблемы вычислительной устойчивости чебышевского итерационного метода. 

В работе "Об одном экономичном алгоритме численного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений" (ЖВМиМФ, т.4, №3, 1964. с.580-595) А.А. Самарским предложена экономичная по числу действий разностная схема второго порядка точности для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В случае использования явной схемы для задачи Коши для системы уравнений число арифметических действий равно q=2n²+2n, т.е. O(n²). Неявная схема имеет второй порядок точности, но для нее q=O(n³). А.А. Самарский предложил рассматривать двухшаговую разностную схему, в которую входят две треугольные положительно определенные матрицы, сумма которых равна матрице исходной системы:

Расчетные затраты при использовании этой схемы составляют q=n²+7n, т.е. при n>5 затраты для данной двухшаговой схемы даже меньше, чем для явной с шагом τ. Если A₁, A₂ самосопряженные операторы, то данная схема является обобщением известного алгоритма переменных направлений для двумерного уравнения теплопроводности.  

Эта же схема может быть использована в качестве итерационной схемы для решения системы линейных алгебраических уравнений, а также все результаты переносятся на случай линейных операторных уравнений.

В работе "Выбор итерационных параметров в методе Ричардсона" (ЖВМиМФ, 1972, т.12, №4 с.960-973)  А.А. Самарским и Е.С. Николаевым был рассмотрен вопрос вычислительной устойчивости итерационного метода Ричардсона решения операторного уравнения I рода в гильбертовом пространстве.

Этот метод обладает высокой скоростью сходимости, однако для задач с плохо обусловленным оператором на практике была выявлена его численная неустойчивость в следствие ошибок округления при расчетах на ЭВМ. До того другими авторами уже были предложены разные методы снижения неустойчивости, но не полного ее устранения. Затем был предложен метод полного устранения неустойчивости, но только для числа параметров n=2^p. В работе А.А. Самарского и Е.С. Николаева метод упорядочивания параметров обобщается на случай произвольного n.