Основные научные результаты академика А.А.Самарского по математической физике.

Материалом для кандидатской диссертации А.А. Самарского стало проведенное им в 1947-1948 гг. исследование возмущения дискретного спектра оператора Лапласа при изменении границы. В связи с некоторыми моделями атома эта проблема в 1927-1931 гг. обсуждалась Эренфестом, А. Виттом, С. Шубиным и, как выяснило исследование А.А. Самарского, не все высказанные при этом положения оказались верны. 

В постановке А.А. Самарского эта задача формулируется следующим образом.

Пусть G - область в двух- или трехмерном евклидовом пространстве с достаточно гладкой границей Γ. Пусть E - подобласть G, U_ε(E) - открытая ε-окрестность множества E. Рассмотрим две задачи на собственные значения: 

Пусть 

- собственные числа для квазизакрепления по множеству E.

А.А. Самарский доказал, что если емкость множества E равна нулю, то собственные числа задачи (1) не изменяются при закреплении, т.е. 

причем для первого собственного значения равенство нулю емкости множества E есть необходимое и достаточное условие того, что оно останется неизменным, т.е. будет выполнено равенство 

Для вариации первого собственного значения А.А. Самарским была получена оценка 

где c(E,Γ) - емкость множества E относительно границы Γ, u₁(x) - первая собственная функция задачи (1). А.А. Самарский показал, что эта оценка является точной.

Одним из официальных оппонентов А.А. Самарского по этой диссертации был И.Г. Петровский, и он назвал работу А.А. Самарского "Прекрасной кандидатской диссертацией, которая целиком заслуживает опубликования".

Следует отметить, что после работы А.А. Самарского использование понятия емкости в спектральной теории оператора Лапласа получило широкое распространение. 

В те же годы обучения в аспирантуре А.А. Самарский в соавторстве с А.Н. Тихоновым выполнил цикл работ по электродинамике, по возбуждению электромагнитных волн в радиоволноводах. В этом цикле работ сформулирована общая постановка задачи об излучении волн в неограниченных областях. Для полых радиоволноводов произвольного поперечного сечения было установлено существование решения задачи возбуждения произвольным сторонним током. Была установлена представимость задачи излучения в виде суперпозиции нормальных волн и строго доказана базисность системы нормальных волн. 

В 1948 году А.А. Самарским и А.Н. Тихоновым был сформулирован принцип предельной амплитуды для выделения единственного решения уравнения Гельмгольца

в неограниченной области. Этот принцип состоит в том, что функцию υ(M), - амплитуду установившегося режима, естественно трактовать как предел

где функция u(M,t) есть решение задачи

В работе "О принципе излучения" показано, что для Ω=R³ предел (3) действительно существует и удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда.

Выдвинутые в этой работе идеи во многом предвосхитили многочисленные современные исследования о связи между стационарным и нестационарным формализмом в теории рассеяния, и работа явилась, по существу, первым исследованием на эту тему.

Сам принцип предельной амплитуды стал предметом исследований многих математиков. 

В 1958 году А.А. Самарский исследует задачу Коши для уравнения теплопроводности с кусочно-гладкими коэффициентами. Им был получен следующих результат. Пусть кривые

попарно не пересекаются, кусочно дифференцируемые и производные η_i(t) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем γ>1/2; пусть коэффициенты a(x,t) и b(x,t) дифференцируемы по x и удовлетворяют условию Гёльдера по t в областях 

Тогда уравнение

имеет единственное классическое решение в области 

Этот результат является фундаментальным вкладом в теорию уравнений с частными производными, и исследования в этом направлении продолжаются и по настоящее время.

Как показал Л.И. Камынин, условия на гладкость кривых η_i(t) в рассматриваемом классе функций улучшены быть не могут (показатель γ не может быть заменен на 1/2).

В работе "О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка" было исследовано обобщенное решение квазилинейного уравнения вида

Данное уравнение трактуется как следствие интегрального закона сохранения, решение определяется как функция, удовлетворяющая этому закону сохранения, доказывается существование и единственность такого решения.