Основные научные результаты академика А.А.Самарского в теории разностных методов.

А.А. Самарскому принадлежат фундаментальные результаты в теории сеточной аппроксимации уравнений математической физики, в теории устойчивости разностных схем, в теории построения и обоснования методов решения сеточных уравнений.

В работах «Однородные разностные схемы», «О сходимости разностных схем в классе разрывных функций» и «Об одной наилучшей однородной разностной схеме» заложены основы теории однородных разностных схем. Нецелесообразно создавать разностные схемы и составлять программы, предназначенные лишь для решения отдельных задач частного вида, необходимо иметь разностные схемы, пригодные для решения классов задач, определяемых заданием лишь типа дифференциального уравнения и краевых условий.

Под однородной разностной схемой понимается разностная схема, вид которой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки: во всех узлах сетки разностные уравнения должны иметь один и тот же вид, причем желательно, чтобы схема годилась бы и для уравнений с разрывными коэффициентами.

А. А. Самарским были разработаны эвристические примеры и сформулирован ряд общих принципов (в частности, принцип полной консервативности), которые позволили создавать однородные схемы, были проанализированы свойства таких схем.

Для однородных разностных схем принцип консервативности был сформулирован как необходимое условие сходимости в классе разрывных коэффициентов, были предложены разностные схемы, которые применимы как в случае непрерывных, так и разрывных коэффициентов уравнения.

В теории экономических схем А. А. Самарский сформулировал принцип суммарной аппроксимации, на основе которого были получены экономичные разностные схемы для основных уравнений математической физики в областях сложной формы.

В цикле работ, посвященном разностным методам решения нестационарных многомерных задач математической физики, был развит метод априорных оценок, который позволил в различных метриках получать оценку скорости сходимости разностных схем.

Фундаментальные результаты получены А. А. Самарским в теории устойчивости разностных схем, которая является центральным местом во всей теории разностных схем.

Традиционные спектральные методы исследования устойчивости, как правило, использовали предположение о структуре разностных операторов, давали труднодоступные и малоэффективные результаты, причем для несамосопряженных операторов этими методами были получены лишь необходимые условия устойчивости.

А. А. Самарский трактует разностную схему как операторное или операторно-разностное уравнение в абстрактном гильбертовом пространстве и исследует устойчивость как внутреннее свойство схемы, не зависящее от аппроксимации и связи схемы с каким-либо дифференциальным уравнением.

Существенным достижением А. А. Самарского в теории устойчивости является отыскание необходимых и достаточных условий устойчивости разностных схем весьма общего вида в терминах неравенств для операторов, входящих в разностное уравнение. Приведем в простейшей форме два относящихся сюда результата о двухслойных схемах вида

Теорема 1. Пусть A и B не зависят от k, 

Тогда условие 

необходимо и достаточно для устойчивости схемы (1), т.е. для выполнения неравенства

Теорема 2. Пусть 

Тогда условие

где ρ - произвольное число, необходимо и достаточно для устойчивости схемы (1) и выполнения неравенства 

Аналогичные результаты получены А. А. Самарским для более общих схем и для случая, когда А и В зависят от k. Эти результаты являются одним из фундаментальных достижений современной теории устойчивости разностных схем.

Полагая в (1)

и выбирая оператор R так, чтобы выполнялись соответствующие неравенства, можно "регуляризовать", т.е. сделать устойчивыми многие схемы. Такой прием регуляризации оказывается особенно полезен для трехслойных схем, где он позволяет сохранить второй порядок аппроксимации по τ.

За последние годы А.А. Самарский, развивая созданную им теорию, получил выдающиеся результаты, относящиеся к разностным схемам для неустойчивых задач математической физики, перенес рад результатов теории устойчивости разностных схем на проекционные методы, включая метод конечных элементов.