Действительный член РАЕН (1998).

Лауреат Государственной премии СССР (1981), лауреат Ломоносовской премии МГУ I степени (1976), лауреат Kурчатовской премии РНЦ Курчатовский Институт (2001).

Член Совета по Физике плазмы РАН, член специализированных Ученых Советов РНЦ "Курчатовский Институт" и МГУ.

По окончании аспирантуры Ю.Н. Днестровский был оставлен на кафедре математики физического факультета, где работал в должностях ассистента (1955-1961), доцента (1961 - 1970), профессора (с 1970). В 1974 г. перешел на основную работу в Институт Атомной Энергии им. И.В. Курчатова. В МГУ продолжал работать по совместительству в должности профессора на факультете ВМК, сначала на кафедрах вычислительной математики, математической физики, затем на кафедре автоматизации научных исследований.

Область научных интересов: математическое моделирование горячей плазмы, ядерный синтез, математическая обработка физического эксперимента.

Основные научные результаты относятся к изучению распространения волн в плазме в слабо релятивистском приближении. Ю.Н. Днестровским впервые показано, что при поперечном распространении хорошо поглощается волна с обыкновенной поляризацией на первой гармонике и волна с необыкновенной поляризацией на второй гармонике. В настоящее время этот факт общепризнан и используется на всех крупных термоядерных установках.

Ю.Н. Днестровским впервые предложено использование транспортных уравнений диффузионного типа для описания переноса энергии и частиц в горячей плазме. Сейчас такие системы уравнений используются во многих лабораториях мира.

Развит вариационный подход к проблеме переноса плазмы в установках типа токамак. Такой подход определяет целевую функцию эволюции плазмы и позволяет описать плазму, как самоорганизующуюся систему.

В течение многих лет Ю.Н. Днестровский сотрудничает с Национальной Лабораторией по термоядерному синтезу в Калэме (Англия).

За время педагогической деятельности в МГУ Ю.Н. Днестровский вел семинары и читал лекции практически на всех курсах, в том числе читал лекции по математическому анализу, аналитической геометрии и линейной алгебре для студентов первого курса физического факультета (1963-1974), читал специальный курс "Математические модели физики плазмы" для студентов 4-5-го курсов факультета ВМК (1974 - 2002).

Под его руководством защищено более 20 кандидатских диссертаций.

Опубликовал около 240 научных работ. Основные среди них:

    Математическое моделирование плазмы - М.: Наука, 1993, 2-е изд. (соавт. Костомаров Д.П.);
    Numerical Simulation of Plasmas - Springer, Berlin, 1986 (co-author D.P.Kostomarov);
    Волны в плазме в окрестности циклотронных резонансов // ЖТФ, 1963, №8 (соавт. Костомаров Д.П., Скрыдлов Н.В.);
    Plasma Phys. Contr. Fusion, v.30 (1988) 47 (co-author G.V.Pereverzev);
    Canonical Profiles in Tokamaks, 29-th IAEA Conf. on Plasma Phys. and Contr.Fusion, Lyon, France, 2002 (Yu.N. Dnestrovskij et al).