Воспоминания Матуса П.П.
П.П. Матус,
Член-корреспондент НАН Беларуси,
профессор, доктор физ.-мат. наук
А.А. Самарский — Почётный член Национальной Академии наук Республики Беларусь
Александр Андреевич был не только выдающимся учёным, но и прекрасным педагогом и организатором науки. Он внёс крупнейший вклад в развитие численных методов математической физики и метода математического моделирования в Белоруссии. В первую очередь это связано с проведением в г. Минске знаменитых школ молодых учёных А.А. Самарского, первая из которых состоялась в 1978 г. В 1980 году под научным кураторством Александра Андреевича защитил докторскую диссертацию В.Н. Абрашин, который был сторонником и проводником идей Александра Андреевича на территории Белоруссии. Мне по жизни очень везло с учителями. В 1980 г. я защитил кандидатскую диссертацию (О сходимости разностных схем одномерной газовой динамики) под руководством В.Н. Абрашина и Ю.П. Попова, который также является учеником Александра Андреевича. Мне было 27 лет и я даже мечтать не мог, что доведётся тесно работать и сотрудничать с таким замечательным человеком, научным гением.
В 1992 году я познакомился с П.Н. Вабищевичем (кстати, тоже белорусом), который сыграл огромную роль в наших совместных с Александром Андреевичем исследованиях.
18 мая 1995 г. я успешно защитил в Институте математического моделирования Российской Академии наук докторскую диссертацию на тему «Разностные схемы на адаптивно-временных сетках для краевых задач математической физики».
Рис. 1. А.А. Самарский и П.П. Матус, 18 мая 1995 г. Институт математического моделирования РАН.
После защиты докторской диссертации Александр Андреевич пригласил меня к себе в кабинет и предложил поработать вместе. О большем счастье в жизни я и мечтать не мог.
Между нашими институтами (Институт математики НАН Беларуси, директор академик И.В. Гайшун, и Институт математического моделирования, директор академик А.А. Самарский) было подписано соглашение о научном сотрудничестве на период 1996-1999 гг. по численным методам решения многомерных задач математической физики, моделированию физико-химических процессов при получении новых технологий. Кроме того, мне и моим ученикам было очень почётно участвовать в трёх международных проектах ИНТАС по математическому моделированию физико-механических состояний в конденсированных средах при лазерном воздействии на основе метода динамической адаптации, научными руководителями которых были академик А.А. Самарский и профессор В.И. Мажукин.
За огромный вклад в развитие современных методов математического моделирования и белорусскую науку А.А. Самарский в 2000 г. был избран Почётным членом Национальной Академии наук Беларуси.
В 1998 г. в Минске была проведена международная конференция «Конечно-разностные методы: Теория и приложения» под эгидой А.А. Самарского. В ней приняли участие учёные из 18 стран мира. Успех конференции был несомненно обусловлен выдающейся личностью Александра Андреевича, так как многие участники приехали лишь для того, чтобы лично увидеть знаменитого учёного с мировым именем. На этой конференции зародилась идея создания международного научного журнала на английском языке по теории вычислительных методов и приложениям. Для её реализации Институт математики НАН Беларуси в 2000 году пригласил двух выдающихся учёных А.А. Самарского и Видара Тома (Швеция) с целью создания авторитетной международной редколлегии будущего журнала. В 2001 году вышел первый номер журнала «Computational methods in applied mathematics» (CMAM). Александр Андреевич был главным редактором журнала в течение первых двух самых трудных лет для становления журнала.
Журнал был создан для укрепления и расширения международного научного сотрудничества в области прикладной вычислительной математике и математического моделирования. За прошедшие годы СМАМ стал авторитетным научным изданием. Он реферируется известными в мире математическими информационными службами, такими как Web of Science, Mathematical Reviews (MathSciNet), Zentralblatt Math (zbMATH) и многими другими.
Было принято решение раз в два года проводить международную научную конференцию под эгидой журнала. Уже состоялось 8 таких конференций: 2003 г. Минск, Беларусь; 2005 г. Тракай, Литва; 2007 г. Минск, Беларусь; 2010 г. Познань, Польша; 2012 г. Берлин, Германия; 2014 г. Линц, Австрия; 2016 г. Ювяскуле, Финляндия; 2018 г. Минск, Беларусь. Подобные конференции способствую установлению и укреплению международных связей ученых всего мира в области прикладной вычислительной математики.
Кратко остановлюсь на тех научных результатах, которые были получены при совместных с Александром Андреевичем исследованиях и отражены в двух монографиях (одна из которых вышла за рубежом) и 34 научных работах [1-36].
При построении адаптивных численных алгоритмов приближённого решения задач математической физики часто проходится использовать неравномерные сетки. При переходе от равномерной сетки к неравномерной порядок локальной аппроксимации обычно падает. Мы обратили внимание на возможность повышения локальной точности метода за счёт аппроксимации исходного дифференциального уравнения не в узлах расчётной сетки, а в некоторых промежуточных точках расчётной области. В случае прямоугольных сеток — это центр массы системы материальных точек единичной массы, входящих в шаблон схемы. А.А. Самарским, П.Н. Вабищевичем, П.П. Матусом [1-2, 15, 19] для одномерных нестационарных задач построены и исследованы различные классы конечно-разностных методов повышенного порядка аппроксимации на неравномерных прямоугольных сетках. В последующих работах этих же авторов полученные результаты обобщаются на многомерные эллиптические уравнения, причём построенные алгоритмы обладают свойством монотонности. Отметим, что разностные схемы повышенного (второго и третьего) порядка аппроксимации были известны и ранее. Однако монотонность таких схем имеет место при очень жёстких ограничениях на шаги сеток — фактически речь идёт о квазиквадратных сетках. Среди наиболее важных обобщений в данном направлении отметим возможность построения аналогичных алгоритмов и для произвольных многосвязных областей [20, 25]. Фактически на 7,8-точечных шаблонах для двумерного уравнения Пуассона удалось построить монотонные схемы второго порядка аппроксимации. Аналогичные методы построены для трёхмерных задач и уравнений конвекции-диффузии [5]. Кроме того, была доказана безусловная устойчивость предложенных методов для одномерных задач и для много мерного параболического уравнения построены монотонные экономичные схемы второго порядка локальной аппроксимации на произвольных неравномерных прямоугольных сетках. Причём оценки в норме C в этом случае получены с помощью принципа максимума для производных, установленного ранее мною. С помощью данного принципа максимума исследована устойчивость векторно-аддитивных схем в сеточном банаховом пространстве [16].
Выше приведён обзор результатов, посвящённых развитию теории адаптивных вычислительных методов на прямоугольных локально-сгущающихся сетках. Однако в мировой литературе интенсивно развиваются и другие подходы, основанные на использовании подвижных сеток. Для нестационарных задач один из таких методов — метод динамической адаптации — предложен в работе А.А. Самарского, Н.А. Дарьина и В.И. Мажукина. Отметим, что дифференциальные задачи, записанные в различных системах координат, с математической точки зрения являются эквивалентными. Вполне естественно требовать выполнения аналогичного свойства (инвариантности) и для разностных схем. В связи с этим в работах А.А. Самарского, В.И. Мажукина, П.П. Матуса, В.Г. Рычагова [3, 6, 23] разработан математический аппарат и проведено теоретическое исследование свойств разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи в нестационарных системах координат. Введено понятие инвариантной разностной схемы. Формулируются необходимые условия построения таких схем (квазиравномерные сетки в исходном физическом пространстве, аппроксимация метрического коэффициента на основании точной разностной схемы и др.)
При построении общей теории устойчивости разностных схем естественно освободиться от предположений о структуре разностных операторов, об их явном представлении. Это привело к понятию операторно-разностных схем с оператором, действующим в конечномерном гильбертовом пространстве Hh, зависящем от векторного параметра h. А.А. Самарским выделен так называемый исходный класс схем, для которых построена общая теория устойчивости двухслойных и трёхслойных разностных схем. При исследовании вопросов устойчивости разностных методов для нестационарных уравнений на адаптивных сетках было установлено, что даже в линейном случае к этим методам непосредственно не применима общая теория устойчивости. Это обусловлено тем, что данные методы относятся к схемам с переменными весами (весовыми множителями). В связи с этим несомненный интерес представляют работы по развитию общей теории устойчивости разностных схем с операторными множителями, которые включают в себя и схемы с переменными весами. В этом случае несамосопряжённые операторы разностной схемы содержат слагаемое, являющееся произведением двух неперестановочных разностных операторов.
Двухслойным и трёхслойным операторно-разностным схемам с операторными множителями посвящены работы А.А. Самарского, П.П. Матуса, П.Н. Вабищевича и В.С. Щеглика. В них проведено исследование разностных схем с несамосопряжёнными операторами. Выделены три основных класса схем, когда взвешивается само решение, потоки (сохранение свойства консервативности) или же вся часть уравнения. Подробному исследованию этих и многих других вопросов посвящена вышедшая в 1998 г. монография А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича и П.П. Матуса [12], которая в 2002 г. была издана за рубежом [35].
При решении дифференциальной задачи может оказаться, что коэффициенты уравнения заданы не точно, а приближённо. Отсюда ясно, насколько важной является задача изучения схем с возмущёнными коэффициентами. При исследовании корректности начально-краевых задач для нестационарных уравнений математической физики обычно ограничиваются изучением устойчивости решения по начальным данным и правой части. Естественно требовать непрерывной зависимости решения и от возмущения операторов задачи (т.е. от коэффициентов уравнения). В последнем случае говорят о сильной устойчивости. В основополагающих работах А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича, П.П. Матуса [10, 14] получены оценки устойчивости при возмущении неограниченного оператора задачи Коши для эволюционных уравнений, рассматриваемых в гильбертовых пространствах. Получены априорные оценки для погрешности при естественных предположениях о возмущении оператора задачи.
При математическом моделировании физико-химических процессов в составных (композитных) телах часто приходится использовать математические модели, которые основаны на различных типах уравнений в отдельных частях расчётной области. Особое внимание при этом уделяется условиям сопряжения на внутренних границах подобластей. Изучение таких моделей предполагает теоретические исследования корректности задач, а также разработку численных методов. Вопросы построения и исследования вычислительных методов для указанных задач практически не рассматривались. В этом направлении в период 1998-2000 гг. А.А. Самарским, В.И. Корзюком, П.П. Матусом, П.Н. Вабищевичем и С.В. Лемешевским был получен ряд интересных результатов, которые нашли отражение в совместных публикациях [17-18, 29].
В настоящее время при исследовании вопросов точности разностных схем сформировалось новое направление, связанное с получением таких оценок, в которых порядок скорости сходимости согласован с гладкостью обобщённого решения исходной дифференциальной задачи. Как и во многих других научных направлениях, здесь Александр Андреевич тоже был пионером. Здесь достаточно указать его знаменитую монографию [37], написанную совместно с Р. Лазаровым и В.Л. Макаровым. Что же касается исследований вопроса точности для разностных схем для нестационарных задач с обобщёнными решениями, то здесь мы отметим совместные работы А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича, П.П. Матуса, В.С. Щеглика с сербским математиком Б.С. Йовановичем [4,8,12,13,24, 35].
В заключение укажем наши совместные с Александром Андреевичем работы по построению монотонных разностных схем для эллиптических уравнений со смешанными производными [30,32].
В этот наиболее плодотворный для меня период Александр Андреевич довольно часто приезжал к нам в Минск вместе со своими учениками и соратниками: П.Н. Вабищевичем, Б.Н. Четверушкиным и др. Мы вместе как работали, так и отдыхали.
Рис. 2
Список совместных научных работ П.П. Матуса с академиком А.А. Самарским
1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, № 2. C.265-274.
2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации на неравномерных сетках для эллиптических уравнений. // Докл. АН Беларуси. 1996. Т.40, № 5. С.9-14.
3. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Чуйко М.М. Инвариантные разностные схемы для уравнений математической физики в нестационарных системах координат. // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, № 12.
4. Самарский А.А., Йованович Б.С., Матус П.П., Щеглик В.С. О точности разностных схем на адаптивно-временных сетках для параболических уравнений с обобщенными решениями. // Препринт / АН Беларуси. Ин-т математики; № 10(522). Мн., 1996.
5. Самарский А.А., Матус П.П., Рычагов В.Г. Монотонные разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках для задач конвекции-диффузии // Математическое моделирование. 1997. Т.9, №2. С.95-96.
6. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П. Инвариантные разностные схемы для дифференциальных уравнений с преобразованием независимых координат // ДАН РАН. 1997. Т.352, №5. С.602-605.
7. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Устойчивость разностных схем в интегральных по времени нормах // ДАН РАН. 1997. Т.354, №6. С.745-747.
8. Самарский А.А., Йованович Б.С., Матус П.П., Щеглик В.С.. Разностные схемы на адаптивных сетках по времени для параболических уравнений с обобщенными решениями // Дифференц. уравнения. 1997. Т.33, №7. С.975-984.
9. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Stability of Difference Schemes in Integral by Time Norms // 15th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modeling and Applied Mathematics. Berlin, August 1997. Abstracts. P.159.
10. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // Докл. РАН. 1997. Т.356, № 4. С.455-457.
11. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Михайлюк И.А. L2-консервативные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза // Докл. РАН. 1997. Т.357. №4. С.458-461.
12. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными мно¬жителями. Минск: Изд-во ЗАО “ЦОТЖ”, 1998, 442 с.
13. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Stability and Convergence of Two-Level Dif¬ference Schemes in Integral with Respect to Time Norms // M3AS: Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 1998. Vol. 8, № 6. P. 1055-1070.
14. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Коэффициентная устойчивость диффе¬ренциально-операторных и операторно-разностных схем // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, № 8. С. 103-113.
15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы второго порядка точности на неравномерных сетках // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 3. С. 413-424.
16. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Устойчивость векторных аддитивных схем // Докл. РАН. 1998. Т. 361, № 6. С. 746-748.
17. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разностные схемы для задачи о сопряжении уравнений гиперболического и параболического типов // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39, № 4. С. 954-962.
18. Самарский А.А., Корзюк В.И., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разностные схемы для задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений на подвижных сетках // Докл. РАН. 1998. Т. 361, № 3. С. 321-324.
19. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П. Разностные схемы на неравномерных сетках для двумерного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 7. С. 980-987.
20. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Зыль А.Н., Матус П.П. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для задачи Дирихле в произвольной области // Докл. НАН Беларуси. 1998. Т. 42, № 1. С. 13-17.
21. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Coefficient Stability of Differential-Operator and Operator-Difference Schemes // Мн., 1998. 11с. (Препринт / НАН Беларуси. Ин-т математики; №5(544))
22. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N., Matus P.P. Coefficient Stability of Differential-Operator and Operator-Difference Schemes // NMA’98: 4th International Conference on Numerical Methods and Applications. August 19-23, 1998, Sofia, Bulgaria. Abstracts. Index. List of Par¬ticipants. P.9.
23. Samarskii A.A., Matus P.P., Mazhukin V.I., Smurov I., Rychagov V.G. Invariant Difference Schemes for Parabolic Equations with Transformations of Independent Variables // M3AS: Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. Vol. 9, №1 (1999) 93-110.
24. Samarskii A.A., Jovanovich B.S., Matus P.P., Shcheglik V.S. Finite Difference Schemes on Time-Adaptive Meshes for Problems with Generalized Solutions // In: Proc. of the Intern. Conference FDM, Russe, Bulgaria, 1997, Finite-Difference Methods: Theory and Application, A. A. Samarskii, Lubin G. Vulkov, and Petr N. Vabishchevich (Eds.), NOVA Science Publishers, 1999. P. 207 – 219.
25. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N., Zyl A.N. Difference Schemes of Second Order of Approximation for Multidimensional Elliptic Equations in Arbitrary Area // In: Proc. of the Intern. Conference FDM, Russe, Bulgaria, 1997, Finite-Difference Methods: Theory and Application, A. A. Samarskii, Lubin G. Vulkov, and Petr N. Vabishchevich (Eds.), NOVA Science Publishers, 1999. P. 221 – 227.
26. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N., Matus P.P. Coefficient Stability of Differential Operator Equations and Operator-Difference schemes // Proceedings of the 4th International Conference, NMA’98, Sofia, Bulgaria, 19 — 23 August 1998, World Scientific, Singapore, 1999. P. 87 — 98.
27. Самарский А.А., Мажукин В.И., Малафей Д.А., Матус П.П. Повышение точности разностных схем на неравномерных по пространству сетках // Докл. РАН. 1999. Т. 367, № 3. С. 310 — 313.
28. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Зыль А.Н., Матус П.П. Разностная схема второго порядка точности для задачи Дирихле в произвольной области // Мат. моделирование. 1999. Т. 11, №9. С. 71 – 82.
29. Samarskii A.A., Korzyuk V.I., Lemeshevsky S.V., Matus P.P. Finite-Difference Methods for Problem of Conjugation of Nyperbolic and Parabolic Equations // : Mathema-tical Models and Methods in Applied Sciences, 2000. Vol. 10, № 3. P. 361 - 378.
30. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Чуйко М.М. Монотонные разностные схемы для эллиптических уравнений со смешанными производными // Докл. РАН, 2000. Т. 370, № 4. С. 445 - 448.
31. Самарский А.А., Гулин А.В., Матус П.П. Достаточные условия коэффициентной устойчивости операторно-разностных схем // Докл. РАН, 2000, том 373, № 3, с. 304 - 306.
32. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Шишкин Г.И. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными // Мат. моделирование. — 2001. — Т. 13, № 2. — С. 17 — 26.
33. Самарский А.А., Мажукин В.И., Малафей Д.А., Матус П.П. Разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений математической физики с переменными коэффициентами // ЖВМ и МФ. — 2001. — Т. 41, № 3. — С. 407 - 419.
34. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Макаревич Е.Л., Матус П.П. Устойчивость трехслойных разностных схем на неравномерных по времени сетках // ДАН. — 2001. — Т. 376, № 6, — С. 738 — 741.
35. Samarskii A. A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Difference schemes with operator factors // Kluwer Academic Publishers. — Boston/Dordrecht/ London. 2002.
36. Samarskii A. A., Matus P.P., Mazhukin V.I., Mozolevski I.E. Monotone Difference schemes for equations with mixed derivatives // Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — V. 44. — P. 501-510.
37. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений собобщенными решениями. — М.: Высшая школа, 1987. — 296 с.
