Проработав после окончания университета в течение года в Арзамасе-16, А. Ф. Никифоров в 1956 году перешёл в Отделение прикладной математики МИАН имени В. А. Стеклова, где начал работу под руководством А. А. Самарского. До конца жизни А. Ф. Никифоров был связан с Институтом прикладной математики АН. Здесь он прошел путь до главного научного сотрудника, заведующего отделом вычислительной физики ИПМ имени М. В. Келдыша.
С 1969 года по 2005 год вел педагогическую работу в Московском университете (на физическом факультете и факультете ВМК). Профессор кафедры вычислительной математики, затем — кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики (1977–2000 годы). В последний период жизни преподавал на вечернем отделении факультета ВМК.
Результаты научных исследований А. Ф. Никифорова привели к созданию новых физических представлений о теплопроводности вещества в области высоких температур. Им было показано, что учёт поглощения фотонов в спектральных линиях является определяющим эффектом при расчетах переноса лучистой энергии в веществе, состоящем из многоэлектронных атомов. Выполнен большой цикл расчётно-теоретических исследований, в результате чего в ИПМ имени М. В. Келдыша был создан единственный в России комплекс программ и банк данных THERMOS для расчетов радиационных и термодинамических свойств различных веществ в широкой области температур и плотностей.
А. Ф. Никифорову принадлежат также фундаментальные результаты в области математической физики. Им был создан (совместно с В. Б. Уваровым) новый простой подход к построению теории специальных функций. В 1983 году было предложено разностное уравнение гипергеометрического типа, решения которого находят применение в теории вероятностей, в квантово-механической теории углового момента, в теории представлений групп; было выяснено, что полиномиальные решения разностного уравнения гипергеометрического типа содержат как частные случаи полиномы, введенные ранее из различных соображений Чебышёвым, Ханом, Марковым, Cтилтьесом, Вигертом, а также q-полиномы, введенные Аски и Вильсоном.
В Московском университете А. Ф. Никифоров читал лекционные курсы: «Методы математической физики», «Специальные функции математической физики», «Дифференциальные и разностные уравнения гипергеометрического типа», «Квантово-статистические модели самосогласованного поля».
Подготовил 3 докторов и 5 кандидатов наук.
Является автором свыше 200 научных работ, в том числе нескольких монографий. Основные публикации:
Специальные функции математической физики — М., Наука, 1984, 2-oe изд.; англ. пер.: Basel–Boston: Birkhauser Verlag, 1988 (соавт. В. Б. Уваров);
Классические ортогональные полиномы дискретной переменной – М., Наука, 1985; англ. пер.: Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, 1991 (соавт. В. Б. Уваров, С. К. Суслов);
Численные методы решения некоторых задач квантовой механики. Ч. 1 — М., изд-во МГУ, 1981;
Polynomial solutions of hypergeometric type difference equations and their classification // Integral Transforms and Special Functions, 1993, v. 1, N 3, pp. 223–249;
Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния — М., Физматлит, 2000 (соавт. В. Г. Новиков, В. Б. Уваров).
