Исторически применение методов математического моделирования началось в естественных науках, где математический аппарат является неотъемлемой составляющей описания явления и его последующего анализа. Одним из основоположников и идеологов современного математического моделирования в естественных науках является известный советский и российский ученый академик А.А. Самарский, вклад которого в развитие математических наук отмечен многими правительственными наградами, в том числе званиями Героя Социалистического Труда и лауреата Ленинской и Государственной премий. Ему принадлежат многие основополагающие идеи в области математического моделирования, в том числе формулировки Вычислительного эксперимента и знаменитой триады: Модель – Алгоритм – Компьютерная программа. Под его руководством впервые был выполнен ряд уникальных вычислительных экспериментов, среди которых явление Т-слоя, проблемы лазерного термоядерного синтеза, плазменные явления в Токомаках, лазерно-плазменная обработка материалов и т. д. Благодаря усилиям академика А.А. Самарского и его Научной школы математическое моделирование в настоящее время приобрело статус самостоятельной науки.
Обобщив многолетний личный опыт решения прикладных задач, в первую очередь по оборонной тематике, А.А.Самарский сформулировал и предложил новую методологию научных исследований. В начале 80-х на одном из научных семинаров отдела №3 ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР он предложил назвать её Математическим моделированием. Ранее в 60-х этот термин был уже занят в дисциплине Исследование Операций, которая содержала большое количество курсов с английским словом "programming": Линейное и выпуклое программирование, Нелинейное и динамическое программирование, Целочисленное программирование, Оптимальное математическое программирование, в том числе и Оптимальное решение на основе математического моделирования. Однако термин математическое моделирование в связи с перечисленными дисциплинами по большому счету не прижился. А.А.Самарский свел его к простому и емкому определению: "Модель - Алгоритм - Программа". Так возникла знаменитая триада. Основное предназначение триады состояло в том, чтобы подчеркнуть начало новой эпохи развития и использования математических наук в связи с бурным развитием и применением вычислительной техники. К этому времени в ходу был термин "Численное моделирование". В западной научной литературе его синонимом было "Numerical simulation". Александра Андреевича эти определения не устраивали своей ограниченностью и однобокостью. "Численное моделирование" подчеркивало лишь наличие вычислительного алгоритма, основанного на численных методах решения уравнений или системы уравнений, оставляя в стороне такие важнейшие элементы моделирования, как разработка и классификация математических моделей, а также определение свойств среды (проявляющиеся в математической модели в качестве коэффициентов/функций при дифференциальных операторах). Понимая ограниченность представления математического моделирования в виде триады, особенно с течением времени, когда методология Математического моделирования станет общедоступной для широкого круга исследователей, А.А.Самарский одновременно ввел более емкое и универсальное понятие "Вычислительный эксперимент (ВЭ)". Схематично ВЭ представлен на рис.1. Триада "Модель - Алгоритм - Программа" естественным образом входила в ВЭ как составная часть. Исторически становление ВЭ происходило в области физики и механики, как областей наиболее развитых в использовании математического описания процессов. Ведущим и наиболее сложным элементом ВЭ являлась Математическая модель. Разработка математических моделей, как правило, базировалась на уравнениях математической физики. Развитием данной области математики занималась целая плеяда блестящих математиков, создавших большое количество монографий, среди которых всемирно известная книга А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [1]. Математическое описание процессов реальной природы сопряжено с огромными трудностями, зачастую содержащее не только строгую логику, но и элементы искусства. Поэтому в создании Математической модели на ряду с теоретическими представлениями включаются и, после соответствующей математической обработки, данные и зависимости, полученные в натурных экспериментах. Также важную роль в оснащении математической модели играет процедура расчета свойств среды, представляющая в ряде случаев отдельный ВЭ, зачастую базирующийся на моделях квантовой механики. Полученные значения характеристик среды, как правило, табулировались и использовались в ВЭ в виде входных данных.
Рис. 1. Схема вычислительного эксперимента.
Вычислительные алгоритмы (5) в большинстве своём базируются на численных методах. К моменту формулировки ВЭ существовала строгая теория численного решения уравнений математической физики с помощью конечно-разностных схем и конечных элементов. Среди монографий посвященных конечно-разностным методам наиболее полной и значимой является широко известная монография А.А.Самарского [2].
Большое внимание в вычислительном эксперименте уделяется созданию пакетов прикладных программ (6), позволяющим автоматизировать расчеты, и способам визуализации результатов моделирования (7), существенно облегчающих их анализ и их применение.
Профессиональный анализ (8) полученных результатов приводит либо к модификации ВЭ, если поставленные цели не были достигнуты либо к окончанию ВЭ в противном случае.
Становление методов ММ и ВЭ привели не просто к смене терминологии, но к формированию новой технологии научных исследований широко использующей математические подходы [3 - 8]. По глубокому убеждению А.А. Самарского постановка ВЭ должна отталкиваться от постановки проблемы и разработки математической модели, для реализации которой должны разрабатываться соответствующие методы решения, а не наоборот.
Данный подход оказался чрезвычайно эффективным и плодотворным, о чем свидетельствуют результаты математического моделирования мощной научной школы А.А. Самарского в проблемах лазерного термоядерного синтеза, магнитной и радиационной газовой динамики, низкотемпературной и высокотемпературной плазмы, атомной энергетики, аэродинамики, лазерных технологий, производства полупроводниковых материалов, интегральных схем, разработке высокопроизводительных вычислительных комплексов и др. Были получены патенты на открытие Т-слоя и метода лазерно-плазменного азотирования металлов [9,10].
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент дали огромный толчек вычислительной математике. А.А. Самарским и его учениками была создана серия монографий по численному решению систем уравнений в частных производных и нелинейных сеточных уравнений [11-20].
В настоящее время под термином Математического моделирования подразумевается именно Вычислительный эксперимент.
Отметим, что термин "Mathematical modeling" в западной научной литературе появился значительно позже "Математического моделирования" и "Вычислительного эксперимента".
Огромные организационные усилия А.А.Самарского по разработке "Общегосударственной Программы по развитию и применению методов математического моделирования в науке и народном хозяйстве" увенчались открытием нового научного журнала "Математическое моделирование" и первого в стране Института математического моделирования РАН, что в конечном итоге позволило Математическому моделированию стать самостоятельной научной дисциплиной.
А.А.Самарский заслуженно считается основателем отечественного математического моделирования.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1951 г., 660 с. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Изд-во МГУ, 2004. 798с. – (Классический университетский учебник). 5-211-04843-1:402.92 (издание к 250-летию Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова).
2. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.Наука, 1971, 552 с.
Alexannder A. Samarskii. The theory of difference themes. New York – Basel. Marcel Dekker, Inc, 2001, pp. 761.
3. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, №5, с. 38-49
4. Самарский А.А. Что такое вычислительный эксперимент? В сб. Что такое прикладная математика. М.Знание, 1980
5. Самарский А.А. Математическое моделирование и численные методы. в кн."Проблемы вычислительной математики ", М. МГУ, 1980
6. Самарский А.А. Вести широкую пропаганду идей и методов вычислительного эксперимента. Вестник АН СССР, 1981, №3, с. 61-65
7. Самарский А.А. Вычислительный эксперимент в задачах технологии. Вестник АН СССР, 1984, №3, с. 77-88
8. Самарский А.А. Математическое моделирование на ЭВМ - новая научная технология. Математическое моделирование, 1989, т.1, №1, с. 1-2
9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Заклязьминский А.А., Волосевич П.П., Гольдина Д.А., Дегтярев Л.М., Курдюмов С.П., Попов Ю.П., Равинская В.Н., Соколов В.С., Фаворский А.П. Эффект Т-слоя в магнитной гидродинамике. Препринт ИПМ АН СССР, 1969 184 с.
10. В.И.Мажукин, Н.Н.Рыкалин, А.А.Углов, Б.Н.Четверушкин. Техника газового нитрирования металлических деталей6.06.1981/8.04.1983.. Авторское свидетельство, №1034428,
11. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.Наука, 1973, 416 с.
12. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.Наука, 1973, 416 с.
13. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.Наука, 1975 352 с.
14. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы решения эллиптических уравнений. М. Наука, 1976, 352 с.
15. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. Наука, 1978, 589 с.
16. Самарский А.А., Лазаров Л.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциаль-ных уравнений с обобщенными решениями. М. Высшая школа, 1987, 296 с.
17. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.Наука, 1989, 432 с.
18. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А. Тишкин В.Ф. Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, 1996, -276с.
19. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.Наука, Физматлит, 1997, 320 с. ISBN 5-02-015186-6
20. Вабищевич П. Н., Самарский А. А. Аддитивные схемы для задач математической физики. – М.: Наука, 2001, 319c. ISBN 5-02-006506-6.
